龚鹏程｜不是数学的希腊几何学

一、不懂几何者，不能入欧洲文明之门

柏拉图学园门口，曾高揭大字“不懂几何者，不能入此园”。是的，不懂几何学，也曾被认为就永远入不了欧洲文明之门。

徐光启《刻几何原本序》就是这么看的。

其序曰：“《几何原本》者，度数之宗，所以穷方圆平直之情，尽规矩准绳之用也。……真可谓万象之形囿，百家之学海。”是一切术数学问之纲领。

他拜利玛窦为师，想把西方科技诸书译成中文；但转念一想，若这本书没译，译其他的，就都白扯，所以还是先译了这本再说（利先生从少年时论道之暇，留意艺学，且此业在彼中所谓师传曹习者；其师丁氏，又绝代名家也，以故极精其说。而与不佞游久，讲谈余晷，时时及之。因请其象数诸书，更以华文。独谓此书未译，则他书俱不可得论）。

后来此书在我国几次刊印，刊印者也表达着同样的态度。这态度是什么呢？就是：只有了解几何，才能建立科学知识，进而发展科学文明。

中国历史虽然悠久，但几何学长期不发达，正是科学无法在本土生根茁长的原因，故传刻者惄焉忧之，特刊译此书，以启蒙愚。

对此“启蒙论”，中国人不服气也不行。因为明清之际，利玛窦等传教士带着以几何学为首的欧洲科技来华，就打败了我国的科技士，成功掌控了钦天监。清末，西方科技大胜中土也是事实。

技不如人之后，我们虽然由初中开始就让学童努力学几何了；可是，谁都知道，那是拼了命也学不好的。为此被罚、被打、被骂，最终出了校园，全部忘光。就成了中国人普遍的中学经验。中国之科学，终于进步有限，可能也跟中国人尴尬的几何能力有关。

二、几何不代表数学全部，只是一部分形学

但偶尔也有不服气的，说：我们几何不好固然是事实，然而几何不代表数学全部。而中国古代亦自有数学上辉煌的成就，何至于几何不发达就导致整体文明衰弱不科学？

几何这个词，一说最早来自于阿拉伯语，指土地的测量之术，后来拉丁语音译为geometria。

一说几何这个词最早来自于希腊语土地和测量两个词合成。历来视为数学之一分支。

1607年徐光启虽首译为几何，当时人其实多称为形学，直到1910年《形学备旨》第十一次印刷时，才改名为《续几何》，可见几何一名是二十世纪才一统江湖的，其实则形学也。

若就形学说，则其内容也非希腊独有或独创，中国就有，古埃及、巴比伦也早有。欧几里得所写的《几何原本》只是把原先古埃及等地所传及古希腊已有者整理而成。

古希腊本来在这方面也不突出，例如毕达哥拉斯定理（勾股定理）讲的事，埃及和巴比伦人在之前一个五百年就知道了，埃及对截头金字塔龛的方形棱锥体体积之测量、巴比伦人之三角函数表等，亦皆是希腊望尘莫及的。

形学之外的数学，领域又大得很，如中国所擅长的各种计算，多非由土地测量这种平面空间处理法所能问津。像圆形圆周率，中国比欧洲提前一千多年便能精确到小数点后七位。可见欧几里得几何并不就代表几何学，许多也非原创；几何更不代表数学，几何不发达之民族，或许另有擅长的数学领域，远胜希腊。

由此说开去，则我们还当知道：数学的基本是数数，从一到若干，然后以数来测量天下万事万物。

而记数之法，关键是两点：一是几进位（我们是十进位，逢十进一。有些民族是二十进位或十二进位、六十进位，目前计算机则是二进位制）；二是位值（一个数码表示什么数，不仅决定于这个数，还要看它所在的位置，例如22，两个2，但前一个2与后一个2不等值，代表的是20，数学之所以具有哲理性，即在于这类事例中）。此外，还有零的问题。

0这个记号是公元876年以后才由印度人首先使用的。因此许多数学史都说零这个概念乃由印度人发明。其实概念与符号表述是两回事。我国早期没有0这个符号，我们用什么表达零呢？用空格，例如摆算筹时，遇到零的地方就空一格，以空来代表零，无物无数在其中，深具哲理意味。若书写或印刷，则以☐表示，或干脆写成o，金大明历或秦九韶《数学九章》就这么处理。

零的问题比较特别，许多民族于此没有发展，如希腊。

进位制及位值制稍微普遍些。可是普遍之中也有优劣之分，如巴比伦人、玛雅人都懂位值制，然而巴比仑用的是六十进制，玛雅人用的是二十进制，都不如我们方便。

记数法采用位值制又是十进制的，世界上以我们为最早，所以后来算数能长期执世界之牛耳。

反观西方，到罗马都还不会位值制呢！罗马数学之记数法是用C表示一百，若要表示二百则须写成CC，所以你若要记录3888，就得写成MMMDCCCLXXXVIII。你说笨不笨呢？

最后这句话，虽看起来有文化歧视之嫌，可实际上每个去欧美游玩购物的人在柜台结账时心底都不知翻来覆去咒了多少遍。近年售货员仰仗计算机，情况当然颇有改善。但欧美人不会数数的普遍特征，确实与中国人形成巨大反差。

这类事例，可以无穷开列下去。近代中国总在缺乏科学方面受尽讽嘲，而数学被认为是科学之基石或重要部分，科学落后，必然由于数学落后。因此谈起数学，当然也是自惭形秽的。

可是若偶尔晓得了一点数学史，就会纳闷：中国古代数学不是挺好的吗？算数、代数都如上文所说长期领先世界。数学教育，至迟在周朝就已列入“六艺”之一，成为国家教育之一部分，还不像希腊只柏拉图学园在强调。相关《算经》著作更不比西方为少。到现在，一般人记数能力也和上文所说一样，远胜西方人。怎么说中国数学就不行了？

在欧几里得《几何原本》同时，中国《清华算表》可以计算0.5乘以0.5到495.5乘以459.5的任意二元乘法，还可以逆运算推导除法。相比之下，同时代的西方算术实在是小儿科，连乘除法都算不好呀！

三、希腊数论皆是玄学派

再说天文学。

早期毕达哥拉斯学派本是宗教，玄想曰：天体有十个，因为十是完美的数字；地球是球体，因为球体是完美的物体；轨道应该是圆形，因为圆是完美的形状。

柏拉图也一样。他以几何学设想宇宙开头有两种直角三角形，一种是正方形的一半，另一种是等边三角形的一半。从这些三角形就推理出四种正多面体。火微粒是正四面体，气微粒是正八面体，水微粒是正二十面体，土微粒是立方体。第五种正多面体是由正五边形形成的十二面体。这是组成天上物质的第五种元素，叫做以太。

然后，整个宇宙是个圆球，因为圆球是对称和完善的。宇宙的运动则是一种环行运动，因为圆周运动最完善。

四大元素中每一种元素在宇宙内的数量是这样的：火对气的比例等于气对水的比例和水对土的比例。万物都可以用一个数目来定名，这个数目就是表现它们所含元素的比例。

所以他说：“天文学和几何学一样,可以靠提出问题和解决问题来研究,而不去管天上的星界。”

你说这些不是罔顾事实的瞎想吗？

他还推论道：地球是一个小球，天空是一个大球，大球包裹着小球。所以小球在中央，没有动。大球在外面，围着小球转。故宇宙分成两部分。一部分是地球，住着我们人类和其他动植物。另一部分是天球，高高在上，围绕着地球。地球在中央，静止不动，天球在外面，绕着地球转。太阳，月亮和那么多的星星，都是镶嵌在天球上的小圆球。

他给天球分成好多层。最里面一层离地球最近，月亮镶嵌在上面，这层天球就带着月亮转。每一层天球，转动的角度和速度都不一样。方向也不完全一样，有点像一只超大号的钟表，一直精确地转动。其图形如下：

这个同心球模型，被亚里士多德发展得更是复杂，竟有 55层同心球壳。

相较之下，我国天文学完全不同。我们是最早有历法的国家之一。天文官“观象授时”，要具体观察节气、朔望、置闰、交食和时间，有多项专门内容的观测手段和计算方法。还有七政、五纬、二十八宿、四象、三垣、十二次、分野等天文基本概念。绝不是这样玄想的。

其知识也普遍通用于老百姓之间，故顾炎武《日知录》说：“三代以上，人人皆知天文。七月流火，农夫之辞也。三星在户，妇人之语也。月离于毕，戍卒之作也。龙尾伏辰，儿童之谣也。“

公元16世纪前，天文学在欧洲的发展一直很缓慢，良有以也！

四、对公理系统的迷恋

于是，数学界朋友或谈比较文化的人就都哈哈大笑，怜悯地出来解释，或曰：古代好，近代差了，正符合“李约瑟难题”，可有各种猜想。

或曰：古代中国固然也会数学，也有许多技术，但那些往往只是基于实用之目的而形成的，或缺逻辑论证之程序，或无何以获得数据之证明，故非科学，最多只是科技，而且与哲学思辨无关。

这类解释背后的标准，就是欧几里德与柏拉图的几何学。在这些人心目中，这种几何学就等于数学、就等于科学。即或数学还有其他领域，但主体仍是几何，且就是也只是欧几里德式的几何。

所以，总之，十九世纪以来的我国思想态势，不听你讲讲那些大道理，大家都和徐光启差不多，奉《几何原本》为标杆。有并符合才它是科学进步的，没有或不如它，便代表落伍。

现在我们批评它独断、有欧洲中心主义霸权心态都不难，可是它所坚持的理由，即使现在批评它的人也未必能摆脱。什么理由呢？那就是对公理系统的迷恋。

《几何原本》是公理化系统的第一个范例，对西方数学思想的发展影响深远。

公理指一种设定，讨论问题的人不论谁都须同意这种假设，然后大家由此层层推理，依逻辑推衍而获其结论，形成公众认同之理。

所谓几何，不过如此。公理只有五条：

1、任两点都可以用一条直线相连

2、线段可以无限延长成一条直线

3、可以以任意点为顶点，任意长度为半径画一个圆

4、所有的直角都相等

5、过直线外一点，有且只能做一条直线与已知直线平行

看起来非常简单的这5条公理就是欧式几何的全部假设，从这5条假设，欧几里德逻辑论证了465个命题。

对这种体系的信从乃至迷恋，在徐光启那个时代当然是合理的，放在二十世纪中西文化对比论述中却已过时，何况现在？

怎么说呢？

我国谈思想的人，其实多半不了解世界上数学思想史近年的发展。

以克莱因（Morris kline1908—1992）《西方文化中的数学》为例，他已论证了以下几点：

一、希腊这种独重逻辑推理之数学观，其实是个特例，许多民族都不这样。由历史上说，又是对原先数学传统的颠覆。因为数学从来都以经验的积累，归纳推理、演绎推理三方面合并进行。欧式几何这种偏执演绎之系统，不过是那个时代一种伪科学（他引述的斯威夫特Swift 之言）。

二、造成如此偏执之原因，在于不重视实用几何，故理论与实践分离，几何学谈论的竟不是物质性的东西，而是点线、三角形、正方形等纯思维的对象，与现实无关。

三、造成如此之原因，是柏拉图亚里士多德等游谈智士本来就不事生产，也看不起任何手工操作技艺，对商业和贸易亦不感兴趣。那些都靠奴隶完成了，他们只管架空玄想，所以也因此完成了数学的抽象化。

四、抽象化数学，与其哲学才能紧密联结起来。因柏拉图哲学本来就认为现实世界短暂易朽，理型世界才是真且善的。而这种美与善的原则，亦由此贯穿于希腊之雕刻、建筑、音乐、戏剧中。

五、希腊创造的这个新传统，影响深远，但弊病也非常明显。简便的表示数的方法，从未得到发展，他们也没有处理数的方法。在计算方面，甚至连巴比伦人已经创造的技巧都没有用。对天文学在航海和历法方面的应用，古典时期希腊人几乎没有关心过。不仅没有发展在工业、商业、财经和科学上必须应用的数学系统和代数，而且还妨碍了它的进步。

六、由于它存在着许多缺点，故近代的数学或科学，实乃对希腊传统的再颠覆，引进了阿拉伯印度的数学系统，发展了代数。而且导致现今许多大数学家和某些二三流数学家对所有哲学玄想都极端蔑视。

依其描述，可将整个数学史视为“数学变为哲学、再回归为数学”之历程。

希腊以欧式几何柏拉图为代表之数学，其实是一套哲学及其思维术，虽然在西方影响巨大，但如今数学界及思想界已可由更大的层面来考察其利弊，不再以它为矩度来评判其他民族、其他数学领域之是非。

长期被诟病的中国数学（重数、重计算、能实用）反而更具科学性，不像谈天文学而与任何星球都没有关系，谈点线面而与任何物质也都没关系的几何空谈那样，徒恃理论之构造。

柯朗（Richard coarant 1888—1972）《什么是数学：对思想和方法的基本研究》之研究也可与上述观点相呼应。

柯朗说：欧式几何影响巨大，以致于它成为数学中一切严格证明的典范，哲学家也试图用定义和公理推导定理的形式来论证。十七八世纪以后数学虽背离了这个传统，但这种方式仍不断渗透到其他领域，例如数理逻辑就是最新的成果之一。

这个公理体系，首先要承认或接受一个无须证明（又称自明的）命题，由此出发，利用逻辑推理，推导出其他所有定理。但这个自明的公设，其实有很大的任意性，一组公设之相关性、完备性和独立性，常会存在争议。一旦质疑那个基点，其后的推论便将无意义或意义可疑。

其次，在此还有形式主义和直觉主义之分歧。

形式主义认为公设与现实直观本来无基本干系，只管进行理性的形式逻辑程序即可。

直觉主义则认为公设无论如何都须是简单的、直观明显合理的（如欧式几何说两点之间可拉一条直线，经验上的直觉觉得是这样，底下的推演才进行的下去。否则就如：a、一切男人是女人。B、某甲是男人，c、故某甲是女人。虽也合乎三段论推理逻辑却没人会承认，前提违背直观常识故也。但纯讲形式逻辑却又不免于此，所以逻辑轮者常要强调逻辑只论对错，不论是非。对错是推论形式不对，是非是与经验现实合不合）。

何况，数学本应处理客观现实存在的事，不应是自构理境之玄思。

五、几何是不是数学之疑

早期的几何学是关于长度，角度，面积和体积的经验原理，被用于满足在测绘，建筑，天文，和各种工艺制作中的实际需要。欧几里得才将之转为思维术，不仅仅是一个数学意义的运演操作系统，更主要的是它作为一种文化系统中起主导作用的理性解释系统，或者称之为一种理性构造的规范模式。

这种演绎推理的公理系统，在后来西方文化中影响深远。所以看起来西方数学解释宇宙的变化，引导理性的发展，参与物质世界的表述，任何学科的构建都必须按照理性的要求模仿和运用数学的模式。

可是这真是数学吗？

克莱因、柯朗等人已经回答得很清楚了。“天文学和几何学一样,可以靠提出问题和解决问题来研究，而不去管天上的星界”，其实更是哲学而非数学。

牟宗三先生对此曾有一解释，说几何不是科学：柏拉图首先指出在变化无常的感觉世界之外，有肯定理型世界的必要。把握理型，须靠纯净的心灵，而心灵之为纯净，因而可以把握洁净空旷圆满自足的理型，是由感觉的混杂中陷溺于躯壳中，解脱出来，始成其为纯净。心之纯净化即心之解放。这一步解放即表示人的生命之客观化。此所谓客观化是以纯净的心灵之理智活动把握普遍性永恒性的理型而成者。即由心之纯智活动而成者。故此步客观化是由“无取之知”中首先表现：人要成为一真正的人须是一“理智的存在”。这是希腊人的贡献。纯智活动之把握理型即成功一形式体性学（formalontology）。这不是科学。因为它虽然讲感触现象之变与永恒理型之不变，它却不是就一定的经验现象实验出一定的知识系统，如物理或化学。

世界数学的发展，则是以归纳逻辑和演绎逻辑结合的算法倾向，逐步取代了以研究空间形式为主，而以演绎逻辑之公理化为倾向的历程，中国算法的型态，其实才是目前数学界之主流。

可是，直接判定柏拉图欧几里得之几何非数学，恐怕大家心理上还是难以接受。所以只能说它是另一种数学。

六、欧氏几何当归入易术体系去认识

什么样的数学呢？是类似《周易》这样的数学！

《周礼·春官》说：“太卜掌三易之法：一曰《连山》、二曰《归藏》、三曰《周易》。其经卦皆八，其别皆有六十有四”，都是依八卦推算的。主要用蓍草，但也用类似小竹棍的筹和策。《老子》说：“善数不用筹策。”正显示他们都是以计数的方式做测算。后来算数家之用筹策，渊源正在于此。

现今考古发现张家坡卜骨、周原卜甲、四盘磨卜骨，都刻有 6个字的符号。考古学家证明这类数字符号是早期用数组成的易卦，既有3个数组成的单卦，也有 6个数组成的重卦。《汉书·律历志》也有“画八卦，由数起”的说法。其为一套数之系统是无疑的。

孔子以后，易学以义理为正宗，但谁也舍不掉数。讲汉易者，易象的数字大谈分卦直日，六十四爻为三百六十日；大衍之数五十；天地之数六七八九；土数五等。讲宋易的，加上了河图洛书，又如邵雍，衍为《皇极经世》，旁通恢拓及于人事物理。易纬还讲各种王朝享年推算之术。惠栋《易例》卷上有“纬书所论多周秦旧法，不可尽废”一条标题。

可见，易数是中国算数体系中一部分，决无疑义。可惜做中国科技史、算数史的朋友多仅在《算经十书》中游弋，而罕能涉足于此领域。盖或以为无关，或以为旁支也。

其实不然。八卦演为六十四卦，本身是个演绎而成的体系，各卦均可以数表达，天地人物也都可以数表达。若我们相信古代“结绳记事”之传说，即可推想那是个以数来记事表意的体系，《周易》或其前身《连山》《归藏》当即属于此一大体系中之一员（龟卜是观察火烧甲骨之形象的，是象思维，《易经》则应该属于数）。

古代本来就有“结绳记事”的传说，显示利用数字是古代思维之一种重要方法。用数学方式探索世界，乃是上古全世界都有的文化现象。如古希腊毕达哥拉斯学派的占数法即是。

当时也有《九章算术》之类数学。《九章算术》本之于《周礼．地官．司徒》所谓九数：“保氏掌谏王恶，而养国子以道，教之六艺。一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数”。郑众云：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要；今有重差、夕桀、勾股也”。方田、粟米、差分等等，就是测地之术。

可是它所涉及的九章，实乃地官所掌，故均与地相关。今人以此为基础，建立的中国数学史认知，是不完整的。易数这类掌于天官者，其算法当另成体系，与地官所掌九数，须合并观之，才可算是中国数学之全貌。

属天官的易数虽然仍是数，而不像欧几里得那样谈空间，但它却能如欧几里德《几何原本》那样，形成一个公理化的体系；而且不是应用问题之直接处理，一题、一答、一术，只有技术上的实用性而缺乏抽象性与普遍性。所以钻研易数也如学欧几里得几何一样，可入哲学堂奥。

然而，《周易》这样的数学，历来便是与《九章算术》等算经之数学分别对待的。我们看柏拉图欧几里得几何学，也可把它拉开来另行观察。

龚鹏程

龚鹏程，1956年生于台北，台湾师范大学博士，当代著名学者和思想家。著作已出版一百九十多种。

办有大学、出版社、杂志社、书院等，并规划城市建设、主题园区等多处。讲学于世界各地。并在北京、上海、杭州、台北、巴黎、日本、澳门等地举办过书法展。现为美国龚鹏程基金会主席。

本文转自“龚鹏程大讲堂”公众号